A Le Monde írta róla 1990. augusztusában: „… a magyar csellista Onczay Csaba különleges koncentrációjával, bársonyos hangjával és játékának szellemével Casalshoz áll közel.”
Onczay Csabát 1993-ban hazai és nemzetközi előadóművészi sikereinek elismeréseként Kossuth-díjjal tüntették ki. Kodály Szólószonátájának kimagasló interpretálásáért 1976-ban Liszt-díjjal, művészi és előadói munkásságáért 1986-ban Érdemes Művész, 2004-ben Bartók-Pásztory díjjal jutalmazták, 2008-ban Pro Artibus Artisjus éremmel ismerték el munkásságát a kortárs magyar zene külföldi terjesztéséért, valamint többször is megkapta az Artisjus előadóművészi díját. A Magyar Művészeti Akadémia (MMA) rendes tagja.
Számos nemzetközi versenyen elért díjai közül a két legfontosabb a budapesti Nemzetközi Pablo Casals Gordonkaversenyen (1973), és a riói Villa Lobos-versenyen (1976) elért két első helyezése.
Onczay Csaba a budapesti Liszt Ferenc Zeneművészeti Egyetemen Friss Antal tanítványa volt, később a moszkvai Csajkovszkij Konzervatóriumban Sergej Sirinszky, Sienában (Olaszország) pedig Andre Navarra voltak a mesterei. Miután befejezte tanulmányait hazatért, és a Zeneakadémia tanára lett. 1971 óta a Liszt Ferenc Zeneművészeti Egyetem tanára, 2017-től professzor emeritus. Vendégprofesszor volt 1995-ben a Freiburg University of Music-ban (Németország), 2002-ben az Oberlin Conservatory-ban (USA), 2006-2009-ig a Jacobs School of Music in Indiana University-n Bloomingtonban (USA). 2005-től állandó vendégprofesszora az Indiana University Nyári Vonós Akadémiájának. 1981-2001-ig művészeti vezetője volt a Niederstotzingen Musiktage-nak Németországban, valamint 1987-2000-ig a keszthelyi Festetics Kastély nyári akadémiájának. 1978 óta rendszeresen tart mesterkurzusokat szerte a világban.
Szólistaként mind a mai napig fellép Európa, Amerika és a Távol-Kelet jelentősebb hangversenytermeiben, korábban nagy sikert aratott többek között a Bécsi Szimfonikusokkal, a lipcsei Gewandhaus Zenekarral, a RAI Zenekarral és több amerikai együttessel is. Külföldi karrierjéből kiemelkedik Amerika, ahol menedzsere által 20 év alatt közel 100 városban játszott nagy sikerrel. 1985-90 között a Kodály Center of America (Boston) állandó meghívottja volt, mesterkurzusokat tartott, és bemutatta Kodály műveit.
Számos rádió- és TV-felvétele mellett CD-re vette C.P.E. Bach, Schumann, Lalo, Villa Lobos, Dohnányi műveit, Beethoven összes szonátáját, Bach szólószvitjeit és számos cselló és kamaradarabot is. Több kortárs mű magyarországi bemutatása fűződik nevéhez (Akutagawa, Dutilleux, Gubaidulina, Landowski, Lutoslawski, Pendereczki). Több magyar zeneszerző (többek között: Gyöngyösi Levente, Kocsár Miklós, Lendvay Kamilló, Szokolay Sándor) is írta és ajánlotta számára műveit, számos kortárs mű magyarországi bemutatása fűződik nevéhez.
Alapító és tiszteletbeli tagja a Magyar Kodály Társaságnak, alapító tagja a Magyar Zeneművészeti Társaságnak és a David Popper Nemzetközi Csellóversenynek. 1986-ban Firenzében megalapította a Camerata Strumentale Italiana kamarazenekart, melynek két évig karmestere és művészeti vezetője volt.
2016-ban Várpalota Város Díszpolgára lett, és megkapta Szeged Város Arany Plakettjét. 2019-ben a Japán kormány javaslatára a Császár a “Felkelő Nap Rendje Aranysugarak a Nyakszalaggal” kitüntetést adományozta számára.
Onczay Csaba hangszere egy 1700-ban készült Matteo Goffriller cselló, a Magyar Állam kollekciójából való.